واریانس و انحراف از معیار (Variance and Standard Deviation)
اگر خیلی ساده بگوییم، واریانس کمیتی است که میزان پراکندگی مجموعهای از دادههای احتمالی را نشان میدهد. فرض کنید شما یک معلم باشید و آزمونی را از 50 نفر از دانشجویانتان گرفته باشید و میانگین نمرات کلاس برابر با 14 شده باشد. اگر از شما درباره میزان اختلاف سطح علمی موجود بین دانشجویان سوال کنند، چه پاسخی خواهید داد؟ صرف این که «میانگین نمرات کلاس 14 شده است» کافی نیست برای اینکه تصویر واضحی از میزان پراکندگی علمی بین دانشجویان داشته باشیم. ممکن است همه دانشجویان کاملا متوسط بوده و مثلا نمرات ایشان حول و حوش 13 تا 15 باشد. ویا برعکس، ممکن است با یک کلاس کاملا متنوع مواجه باشیم که برخی دانشجویان نمرات بسیار درخشان 19 و 20 گرفته و برخی دیگر نمرات بسیار ضعیف 8 و 9 گرفته باشند! میانگین نمرات هردو کلاس یکسان و برابر 14 است و برای تشخیص میزان پراکندی نمرات به چیز دیگری نیاز داریم که آن را اصطلاحا «واریانس» مینامند. برای محاسبه واریانس کافی است نمره هر دانشجو را از میانگین کلاس کسر نموده و نتیجه را به توان دو برسانیم. این کار را برای سایر دانشجویان نیز انجام دهیم و نهایتا همه را با هم جمع کنیم. نتیجه نهایی اگر بر تعداد کل دانشجویان تقسیم شود، آنچه بدست میآید واریانس نام خواهد داشت. جذر واریانس نیز انحراف از معیار نامیده میشود. انحراف از معیار را با نماد σ یا SD بیان میکنیم. واریانس و انحراف از معیار میزان تنوع و پراکندگی موجود بین دادهها را نمایش میدهند. در تصویر زیر هرچقدر که واریانس بزرگتر باشد، منحنی پهنتر گشته و در راستای افقی گستردهتر میشود.
انحراف از معیار یا σ درواقع متوسط فاصله دادهها از مقدار میانگین است. به عنوان مثال اگر انحراف از معیار در مثال قبلی برابر با «یک نمره» باشد یعنی نمرات دانشجویان بطور متوسط حدود یک نمره با میانگین کلاس(یعنی عدد 14) فاصله دارد، هرچند که هنوز هم ممکن است برخی دانشجویان نمرات بسیار خوب یا بسیار بد گرفته باشند اما به هرحال یک واریانس کوچک درک بهتری از وضعیت کلاس به ما خواهد داد.
معمولا دادههای احتمالی در طبیعیت از توزیع معروفی بنام توزیع «نرمال»[30] یا «گاوسی»[31] تبعیت میکنند. این منحنی شبیه به یک زنگوله عمودی است، و ویژگی بارز آن این است که اکثر دادهها حول مقدار میانگین قرار میگیرند. میتوان نکات زیر را با استفاده از قضایای ریاضی برای منحنی نرمال اثبات نمود:
به عنوان مثال اگر به همان مثال قبلی برگردیم میتوانیم بگوییم با فرض این که میانگین نمرات کلاس برابر 14 و انحراف از معیار برابر «یک» باشد، پس خواهیم داشت:
- حدود 70 درصد از کل دانشجویان نمرهای بین 13 تا 15 گرفتهاند.
- حدود 95 درصد از کل دانشجویان نمرهای بین 12 تا 16 گرفتهاند.
- حدود 99 درصد از کل دانشجویان نمرهای بین 11 تا 17 گرفتهاند.
یعنی میتوانیم مطمئن باشیم که کمتر دانشجویی موفق به کسب نمره بالاتر از 17 ویا نمره کمتر از 11 شده است.
این ها مجموعه نکاتی بودند که نیاز داشتیم از مبحث آمار و احتمالات ریاضی مجددا مرور نماییم. اما این مطالب چه ارتباطی به بازار بورس و خرید و فروش سهام دارند؟! این دقیقا همان چیزی است که جان بولینگر به زیبایی به آن پاسخ داد.
[30] Normal Distribution
[31] Gaussian Distribution
دیدگاهتان را بنویسید